255
Gratuluje odpowiedzi. 
A pochwal się jaki to błąd odnalazłeś.
Nie było tego aż tak dużo. Nie pamiętam wszystkich. Jedno pamiętam najbardziej bo lubię ten temat i tylko dlatego.
Dość prosty wzór. Tyczy się zaawansowanej mechaniki wzorów dotyczących czasoprzestrzeni czarnych dziur. Dylatacji czasu w polach grawitacyjnych horyzontów zdarzeń.
Nic wielkiego, wynik wyszedł absurdalny i widziałem, że błąd jest we wzorze w tym przypadku.
Dość prosty wzór. Tyczy się zaawansowanej mechaniki wzorów dotyczących czasoprzestrzeni czarnych dziur. Dylatacji czasu w polach grawitacyjnych horyzontów zdarzeń.
Podaj tytuł książki i stronę... mam dostęp do biblioteki politechnicznej to sobie z ciekawości sprawdzę.
Świetna odpowiedź, droga do zadania zagadki jest więc otwarta. Mniej polemiki więcej matematyki!
Ogólnie przygotowywałem inne moim zdaniem dość ciekawe pytanie, ale niestety nie potrafię odnaleźć jednej ważnej książki zawierającej kluczową informację niezbędną by zagadki nie spalić, więc by nie przedłużać zadam inne zastępcze zadanie, a do pierwotnego być może powrócę przy innej okazji.
Zagadnienie ogólnie raczej dość znane, więc odpowiedź nadejdzie pewnie szybko, ale fajnie pokazuje, że przeczucie nie zawsze idzie w parze z matematyką. Wstępnie przejrzałem forum, by się upewnić, że nikt tu tego tematu nie poruszył, bo zdaję mnie się, że gdzieś w niedawnym czasie widziałem pytanie oparte na tym problemie, ale to chyba nie było tutaj.
Oto pytanie:
Niegdyś bodajże na Polsacie emitowano teleturniej "Idź na całość", gdzie wybierano nagrodę z jednej z trzech bramek. Wyobraźmy sobie, że bierzemy udział w podobnym programie. Mamy przed sobą trzy zasłonięte bramki. Nagroda znajduje się tylko w jednej. Prowadzący prosi nas byśmy wybrali jedną z nich. Następnie prowadzący informuje nas że odsłoni teraz jedną z dwóch niewybranych przez nas bramek, przy czym zaznacza że na pewno nie będzie to ta zawierająca nagrodę. Po tym fakcie prowadzący pyta się nas, czy chcemy pozostać przy naszym pierwotnym wyborze, czy jednak zdecydować się na pozostałą drugą jeszcze nieodsłoniętą skrytkę. Czy powinniśmy zgodzić się na zamianę? A może nie ma to znaczenia? Odpowiedź proszę uzasadnić.
Lepiej jest zmienić wybór.
Wybierając bramkę mamy szansę wygrania 1/3, pozostała szansa to 2/3. Przy czym po odrzuceniu jednej bramki szansa 2/3 zostaje, ale już dotyczy tylko jednej bramki. Zatem zmieniając wybór wygramy 2 razy częściej.
To tak zwany paradoks więźnia. Więźniowie A,B,i C wiedzą, że 2 z nich skazano na śmierć. A pomyślał, że warto wiedzieć, czy zginie B, czy C. Strażnik wyznał, że B. Teraz A się cieszy, że zwiększył szansę swego przeżycia z 1/3 do 1/2...
Wg mnie bez znaczenia, bo i tak obie bramki (wybrana przez nas i ta jeszcze nie odsłonięta) mają takie samo prawdopodobieństwo wygranej. A to że przy odsłonięciu bramki zmieniło się ono z 1/3 na 1/2 to bez znaczenia, bo zmieniło się dla OBU bramek, których jeszcze nie znamy...
Szansa, że prowadzący grę odrzuci daną bramkę spośród dwóch pozostałych nie jest taka sama. Jest to albo 1 albo 1/2, czyli szansa na to że wygrywa bramka, która została niewybrana to 1/3 * 1 + 2/3 * 1/2 = 2/3
Ja to rozumiem tak:
Zakaldamy że prowadzący odrzuci na pewno złą bramkę, czyli jeśli wybraliśmy na początku źle, to odrzuci drugą złą, a jak dobrze to losową.... W sumie to przy założeniu że prowadzący zawsze to zrobi i zawsze będziemy mogli zweryfikować nasz wybór, to przez cały czas mamy 50% prawdopodobieństwa na sukces, niezależnie co zrobimy:
Pierwszy wybór jest kompletnie bez znaczenia (potem będziemy mogli go zmienić).
Po tym jak prowadzący odrzuci złą bramkę, mamy do wyboru jedną z dwóch, dobrej i złej. Wybieramy jedną i mamy 50% prawdopodobieństwa sukcesu. To czy do wyboru bramki użyjemy słów "zostaje przy zaznaczonej bramce", "poproszę tą drugą bramkę", czy "poproszę bramkę numer x" jest najmniej istotnym szczegółem.
Pomijając fakt wyboru jednej z trzech bramek, to po odrzuceniu jednej pustej zostają nam dwie czyli szansa trafienia jest 50/50.
Nie ma znaczenia czy zmienimy swój wybór. Z rachunku prawdopodobieństwa szansa jest taka sama. Tu zadecyduje los.
Psychologicznie można wkręcić człowieka bo podsuniesz mu pomysł zmiany wyboru, czy to będzie dobra decyzja, nie wiem. Szansa taka sama ale jak ktoś namawia do zmiany to ja bym jednak tego nie robił 
Lepiej jest zmienić wybór.
Wybierając bramkę mamy szansę wygrania 1/3, pozostała szansa to 2/3. Przy czym po odrzuceniu jednej bramki szansa 2/3 zostaje, ale już dotyczy tylko jednej bramki. Zatem zmieniając wybór wygramy 2 razy częściej
nie ma różnicy czy zmienisz bramkę czy nie . Zmieniając nie wygrasz 2x częściej . zostaje Ci 50% szans i nie ma znaczenia czy zmienisz czy nie. Rzucając monetą może wypaść Ci 1000x orzeł a ani razu reszka ale szanse na to co wypadnie są 50/50.
Może na początku wybrałeś dobrą bramkę z szansą 33,3333% . Zostają Ci 2 bramki i twoja szansa na wygraną się zwiększyła do 50%.
Tu już nie ma różnicy czy zmienisz zdanie czy nie.
Po tym jak prowadzący odrzuci złą bramkę, mamy do wyboru jedną z dwóch, dobrej i złej. Wybieramy jedną i mamy 50% prawdopodobieństwa sukcesu.
Jakim cudem z naszych 33.33% robi się nagle 50% szansy? Prowadzący nie może odrzucić naszej bramki zatem nie może zmienić naszego prawdopodobieństwa. Załóżmy że wybraliśmy bramkę A.
i. Może odrzucić bramkę B lub C tylko gdy A jest prawidłowe -> zostaje złe B lub złe C
ii. Może odrzucić tylko B jeżeli C jest prawidłowe -> zostaje prawidłowe C
iii. Może odrzucić tylko C jeżeli B jest prawidłowe -> zostaje prawidłowe B
Chyba jasno widać że zarówno w podpunkcie ii. oraz iii. zmieniając decyzję wygramy. Tylko dla podpunktu i. zmiana decyzji skutkuje fiaskiem. mamy zatem stosunek 2:1 lub szansę 2/3 : 1/3.
Jakim cudem z naszych 33.33% robi się nagle 50% szansy?
Między czasie dostajesz dodatkową informację, trochę jak z grą w rosyjską ruletkę, za pierwszą próbą masz prawdopodobieństwo porazki 1/6, za drugim 1/5, a za szóstym na pewno przegrasz (oczywiście o ile dożyjesz 6 próby) 
Zauważ, że w momencie, gdy masz drugi wybór już jedna z tych trzech opcji sama znika, zakaldajac, że prowadzący odkrył bramkę b, masz do wyboru tylko opcje i oraz ii, natomiast jeśli pokazał bramkę c to masz opcje i oraz iii do wyboru.
zakaldajac, że prowadzący odkrył bramkę b, masz do wyboru tylko opcje i oraz ii, natomiast jeśli pokazał bramkę c to masz opcje i oraz iii do wyboru.
Owszem, tylko prawdopodobieństwo na i. wynosi 1/3 natomiast na ii. lub iii. 2/3. Wynika to z faktu, że w i. wybraliśmy dobrze A za pierwszym razem, a prawdopodobieństwo na to nie wynosi 1/2 tylko 1/3.
A czemu 1/3 i 2/3, skoro gdy wybierzesz a, prawdopodobieństwo że prowadzący odsłoni b jest 50% (1/3 z opcji iii i 1/6 z opcji i gdy wylosował pokazanie b), że odsłoni c analogicznie jest 50%. Więc po wyborze opcji a, na 50% zostanie ci do wyboru a lub b i na 50% a lub c...
Owszem, tylko prawdopodobieństwo na i. wynosi 1/3 natomiast na ii. lub iii. 2/3. Wynika to z faktu, że w i. wybraliśmy dobrze A za pierwszym razem, a prawdopodobieństwo na to nie wynosi 1/2 tylko 1/3.
Moim zdaniem tak nie jest.
Wybieramy za pierwszym razem z prawdopodobieństwem 33,3333%
Prowadzący odrzuca jedną złą odpowiedź więc masz 50% szans na trafienie. Gdyby odrzucał jedną odpowiedź bez zaznaczenia że zła to szanse by się zmieniły.
Nadal twierdzę że z matematycznego punktu widzenia nie ma różnicy czy zmienimy zdanie czy nie - z punktu widzenia psychologicznego prawdopodobnie większość osób zmieni zdanie bo dostaną taką propozycję i będą pod presją. Jednak szanse będą zawsze takie same
Nie rozumiem tego waszego punktu myślenia. Jeżeli wybieram spośród trzech możliwości mam szansę 1/3 na wygraną. Załóżmy, że wybrałem i że jest to jednoelementowa grupa A. Z tych dwóch pozostałych opcji, na które prawdopodobieństwo wynosi pozostałe 2/3 usuwana jest jedna zła bramka - to grupa B. Fakt usunięcia bramki nie ma wpływu na prawdopodobieństwo tej grupy tylko ilość jej elementów. Teraz w grupie B prawdopodobieństwo rozkłada się na jedną bramkę, a nie dwie, dlatego mamy 2/3 szansy, że to ta prawidłowa.
Przemyślcie sobie zagadnienie w odwrotnej kolejności, czyli prowadzący najpierw odrzuca złą bramkę, a następnie potem wybieramy, zatwierdzamy, po czym zostajemy zapytani czy chcemy zmienić swój wybór.
Prowadzący odrzuca jedną złą odpowiedź więc masz 50% szans na trafienie. Gdyby odrzucał jedną odpowiedź bez zaznaczenia że zła to szanse by się zmieniły.
To jest ciekawy przypadek. Prowadzący wprowadza prawdopodobieństwo warunkowe ponieważ odrzuca zawsze złą bramkę. Gdyby odrzucał dowolną spośród dwóch pozostałych faktycznie szanse by się zmieniły. Właśnie na takie jakie lobbujecie.
To mój ostatni post dla tego zagadnienia.
Tak jak pisałem przeczucie (instynkt) nie zawsze idzie w parze z matematyką 
Rację miał holon. Tak jak "na spółkę" z pogromcami mitów tłumaczył prawdopodobieństwo poszczególnych grup nie zmienia się, ponieważ nie zmienia się liczba oraz typ bramek. Łatwiej to zrozumieć jeśli zwiększymy liczebność zbioru np. do 1000. W takiej sytuacji prawdopodobieństwo że udało się nam przyfarcić i trafić bramkę wynosi 1/1000, natomiast szansa że nagroda znajduje się w (słowo klucz) pozostałych skrytkach wynosi 999/1000 (jak widać nieporównywalnie większe prawdopodobieństwo). Co tak naprawdę zmienia nam odkrywanie kolejnych pustych bramek w drugim zbiorze? De facto nic... przecież już od początku wiemy że jest ich tam co najmniej 998. Można podejść do problemu jeszcze inaczej. To nie my wybieramy pierwszą bramkę tylko prowadzący, a my mamy tylko zdecydować, który zbiór wolimy sobie zatrzymać... czy ten jednoelementowy, czy też ten 999 elementowy? Wiadomo, że zdecydujemy się na ten drugi ponieważ jak wiemy szansa na zdobycie nagrody jest nieporównywalnie większa. Następnie prosimy prowadzącego by dla zachowania dreszczyku emocji ten odkrywał w naszym 999 zbiorze najpierw puste bramki, a ewentualną bramkę z nagrodą zachował na koniec... po odkryciu 998 skrytek zostaje jeszcze jedna bramka w wybranym przez nas zbiorze oraz ta pojedyńcza wybrana całkiem na początku przez prowadzącego... jak myślicie, gdzie raczej jest nagroda?
Holon, zadajesz
Mam troszkę inne zdanie .
Rachunek prawdopodobieństwa nie ma się współmiernie 1/3 czy 1/1000.
Co by było gdybyś miał do wyboru 2 bramki i jedna zła została by odrzucona. Masz 100% pewności trafienia.
Przy trzech bramkach i jednej złej odrzuconej masz 50% pewności przy 1000 bramek i jednej złej odrzuconej jest tak jak napisałeś wyżej.
Ale ok , dokształcę się . Człowiek uczy się całe życie. Na weekend postaram się wzgłębić temat. Człowiek uczy się całe życie.
Jeśli mój tok myślenia jest błędny to przepraszam i szacunek dla was.
Ostatnio zastanawiałem się nad pewnym problemem związanym z głębokością rekurencji i liczbą powtórzeń pewnego algorytmu. W pewnym sensie pytanie łączy się z tym zagadnieniem.Tak więc:
Na ile sposobów można ułożyć n-elementowe nierosnące ciągi, wybierając ich wartości ze zbioru 'k' różnych liczb naturalnych? Należy wyprowadzić wzór i wyjaśnić poszczególne kroki.
Ja to widzę jako dwa proste że problemy:
Pierwszy to na ile sposobów można ułożyć n elementowe nierosnące ciągi z n różnych liczb naturalnych - na 1 sposób
Drugi to na ile sposobów można wybrać n elementów ze zbioru k liczb naturalnych (skoro mają być różne to na pewno bez powtórzeń)- na k po n (symbol Newtona, w jednej linijce będę zapisywał jako (k n) ) sposobów. Dowód był jakoś w 2 liceum lub można wpisać słowo 'kombinacja' w wyszukiwarkę i na pewno wyskoczy.
Więc odpowiedź to 1*(k n)=(k n)
A wracając do poprzedniego ja tam ciągle widzę 1/2, a nie 1/3 i 2/3 lub 1/1000 i 999/1000, ale to już bardziej filozofia niż matatyka....
